O Paradoxo de Condorcet e o Teorema da Impossibilidade de Arrow

“O Marquês de Condorcet, em 1785, quatro anos antes da Revolução Francesa, dava conta de um paradoxo associado ao uso da regra da maioria. O uso desta regra poderia levar a decisões inconclusivas caso se verificassem certas configurações quanto às preferências dos votantes. Se todas as propostas fossem votadas entre si, a assembleia poderia ser incapaz de alcançar uma decisão. Para se perceber melhor o paradoxo de Condorcet pense-se numa assembleia municipal que delibera sobre o uso a ser dado a um dado terreno camarário e que admite três possibilidades diferentes para esse terreno: a proposta P é que ele seja para uma piscina municipal, a proposta J que seja para um jardim público e a proposta E para uma escola primária. A assembleia encontra-se dividida em partes iguais por deputados de três partidos (A, B e C) que têm opiniões diferentes sobre as propostas, sendo a ordenação das mesmas dada pela tabela em baixo.

Paradoxo de Condorcet

O Partido A tem preferência pela piscina, seguida do jardim e da escola primária, já o Partido B põe em primeiro lugar o jardim, em segundo a escola e em último a piscina. Facilmente se verificará que, se todos os partidos votarem honestamente, isto é, de acordo com as suas preferências:

  • P ganhará J (apoiados pelos Partidos A e C)
  • J ganhará E (apoiados por A e B)
  • E ganhará P

Tem-se então um ciclo de votação conhecido por paradoxo de Condorcet, caracterizado pela intransitividade da escolha colectiva, embora baseado em ordenações individuais transitivas. Este resultado é paradoxal, pois significa que se as propostas forem votadas duas a duas nunca se conseguirá chegar a uma decisão final.

Durante cerca de cento e sessenta anos após Condorcet houve quem tentasse desenhar regras que evitassem esta intransitividade da escolha colectiva e que satisfizessem adicionalmente outros critérios considerados plausíveis. Coube a Kenneth Arrow (1951) formular, de forma rigorosa, o problema e dar-lhe uma resposta clara. Arrow partiu de cinco critérios plausíveis que qualquer regra deve satisfazer. Primeiro deve ser admitido que os votantes possam ter qualquer tipo de ordenação de propostas. Segundo, não se deve aceitar a existência de um ditador, ou seja, de um indivíduo que, pelo facto de escolher individualmente uma proposta, a torne a escolha social. Terceiro, o resultado da escolha deve depender de alternativas irrelevantes. Logo, ao voltar-se entre piscina e jardim só deve interessar a forma como os votantes ordenam estas duas possibilidades, e não como consideram a escola. Quarto, a regra deve assegurar que, se todos preferem uma dada proposta, então essa deve ser a escolha colectiva. Finalmente, a escolha colectiva deve ser transitiva, ou seja, não deve permitir paradoxos de Condorcet.

Arrow demonstrou, na sua tese de doutoramento, que mais tarde o levaria a receber o prémio Nobel da Economia, que não há, nem nunca poderá ser criado, nenhuma regra de escolha colectiva que satisfaça os cinco critérios, ou axiomas, definidos. Este resultado ficou conhecido como o Teorema da Impossibilidade de Arrow.”

Pereira, Paulo T. (2008), O Prisioneiro, O Amante e As Sereias – Instituições Económicas, Políticas e Democracia, Coimbra: Almedina, pp. 20-2

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